Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Assalamualaikum wr. wb

Salam sukses untuk kita semua. Selamat datang di modul pembelajaran mandiri. Kali ini, melalui modul ini kalian akan belajar tentang materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Materi ini sangat penting untuk kalian pelajari karena dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Misal, kalian belanja di kantin sekolah, atau di mini market, atau di mall, atau di tempat kalian biasa nongkrong dengan teman-teman kalian, nah materi ini bisa kalian gunakan untuk menentukan harga sebuah barang yang kalian beli, bisa untuk mencari nilai tunggal dari suatu barang, lebih lanjut kalian bisa menentukan laba maksimum dan minimum jika kelak kalian menjadi seorang enterpreneur/ pengusaha. Berikut kalian bisa saksikan video teman-teman kalian yang sedang melakukan praktik pembelajaran materi SPLTV di kantin sekolah.

Nah dalam video yang telah kalian tonton tadi, mereka secara berkelompok sedang belajar mencari harga satuan dari jajanan yang mereka beli di kantin. Mereka terdiri dari tiga kelompok, yaitu kelompok A, B, dan C. Di kantin sekolah tersebut, kelompok A membeli 3 buah gorengan, 2 mangkok bakso, dan 4 bungkus es teh dengan harga yang harus mereka bayar sebesar Rp. 53.000,00. Kelompok B membeli 4 buah gorengan, 1 mangkok bakso, dan 3 bungkus es teh dengan harga Rp. 34.000,00. Sedangkan kelompok C membeli 5 buah gorengan, 3 mangkok bakso, dan 2 bungkus es teh dengan harga Rp. 60.000,00. Kemudian ketiga kelompok tersebut berdiskusi bersama untuk mencari berapa harga 1 buah gorengan, 1 mangkok bakso, dan 1 bungkus es teh yang telah mereka beli tadi.

Setelah menonton video tadi kalian pasti penasarankan dengan materi SPLTV? Berikut deskripsi singkat materi SPLTV. Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel atau peubah yang sama. Sebelum menyelesaikan suatu masalah melalui model matematika, ada baiknya kalian mengingat kembali konsep dasar sistem persamaan linear dua variabel yang pernah kalian pelajari ketika kalian duduk di bangku SMP. Sistem persamaan linear dua variabel memiliki dua variabel yang sama yang nilainya belum diketahui secara jelas. Dalam sistem persamaan, variabel-variabel yang ada dalam tiap persamaan saling berhubungan satu sama lainnya. Artinya variabel-variabel tersebut harus memiliki nilai yang sama untuk semua persamaan yang menyusun sitem tersebut.

Bentuk umum SPLDV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut :

             

dari bentuk di atas x dan y merupakan variabel atau peubah yang nilainya belum diketahui. 

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel artinya menemukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan kedua persamaan bernilai benar. Suatu SPLDV dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti substitusi, eliminasi, dan campuran (eliminasi dan substitusi).
Untuk mengingat kembali pemahaman kalian tentang SPLDV coba kalian kerjakan soal SPLDV 1 berikut. Coba kalian kerjakan lagi soal SPLDV untuk melihat kemampuan kalian dalam menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan SPLDV.
Nah, jika kalian sudah mengingat dan memahami SPLDV, maka akan mudah mempelajari SPLTV.

Secara rinci, materi yang akan dipelajari dalam modul ini adalah sebagai berikut:

Kompetensi Dasar dan Indikator

Kompetensi Dasar (KD)	Indikator
3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual.	1.    Mengubah suatu masalah yang diketahui kedalam variabel x, y, dan z (menyusun  model matematika). 2.  menentukan masalah kedalam bentuk tabel. 3.  menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari soal    cerita.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel.	1.    mengidentifikasi sistem persamaan linear tiga variabel menjadi persamaan linear dua variabel dengan cara mengeliminasi salah satu variabel 2.    mengidentifikasi sistem persamaan linear dua variabel dan menyelesaikan  ketiga variabel menggunakn metode substitusi

Materi-materi tersebut dapat membuat kalian menguasai kompetensi, baik pengetahuan, keterampilan, maupun sikap terkait dengan kemampuan kalian dalam  memecahkan masalah menggunakan prinsip dan aturan matematika sesuai dengan tuntutan kurikulum 2013.

Peta Materi

     

Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, kalian diharapkan lebih baik memulai dari bagian awal ke bagian akhir secara berurutan. Istilah-istilah yang digunakan dalam modul ini merupakan istilah-istilah yang umum yang digunakan dalam pendidikan matematika. Setelah mempelajari teorinya, kalian dapat mempelajari contoh-contoh, juga latihan-latihan yang ada pada modul ini. Untuk mengetahui pemahaman kalian tentang modul ini, kalian dapat mengerjakan soal-soal pada lembar penilaian diri yang terdapat pada bagian akhir modul ini.

 KEGIATAN BELAJAR 1

 MENYUSUN DAN MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA   VARIABEL (SPLTV)

 A.      TUJUAN
        Setelah mempelajari materi pada kegiatan belajar 1, diharapkan kalian mampu :
        1.    Menyusun konsep sistem persamaan linear tiga variabel.
        2.    Menemukan sistem persamaan linear tiga variabel
 B.   URAIAN MATERI

Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut:

Yang hanya mempunyai satu penyelesaian untuk x, y, dan z, yaitu (x, y, z).

Ada tiga cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu :

a.      Substitusi
       1.         Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana, nyatakan x sebagai fungsi y dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
       2.         Substitusikan x, atau y, atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dua persamaan lainnya
               sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.
       3.         Selesaikan sistem persamaan linear dua variabelyang diperoleh pada langkah 2.
       4.         Substitusikan dua nilai variabel pada langkah 3 ini ke salah satu persamaan semula
               untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.

                Contoh soal :

                Selesaikanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode

                substitusi.

                

  Jawab :
  Sesuai dengan langkah-langkah penyelesaian SPLTV yang telah diuraikan di atas,
  maka:
  1.       Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, yaitu persamaan 3 :
       
  2.      Nyatakan y pada persamaan (3) sebagai fungsi x dan z, yaitu :

            

        3.      Substitusikan y pada persamaan (4) pada langkah 2 ke persamaan (1), sehingga

              diperoleh:

         

        4.      Substitusikan y pada persamaan (4) pada langkah 2 ke persamaan 2, sehingga                  diperoleh:

         
  5.      Nyatakan z pada pada persamaan (5) sebagai fungsi x dan y, sehingga diperoleh :   

           

         6.      Substitusikan z pada persamaan (7) pada langkah 5 ke persamaan (6), sehingga

               diperoleh :

           

   7.   Substitusikan x = 2 ke persamaan (7) pada langkah 5, sehingga diperoleh : 
     
   8.      Nah kita sudah mempunyai dua penyelesaian yaitu, x = 2, dan z = 4. Selanjutnya
          substitusikan x =2, dan z = 4 ke persamaan (3), sehingga diperoleh :
   9.      Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.

b.   Eliminasi

 1.      Eliminasi salah satu variabel, x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.

      2.      Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai

            dua variabel x dan y, atau x dan z, atau y dan z.

      3.      Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke salah satu persamaan

             semula untuk mendapatkan nilai variabel yang ketiga.

                  Contoh soal :

                  Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan metode eliminasi. 

             

                 Jawab :

                 Nah kalian ikuti langkah-langkah yang telah dijelaskan di atas.

                 1.      Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2)

                   

                2.      Kemudian eliminasi z dari persamaan (2) dan (3)   
                  
                3.   Dari langkah 1 dan 2, diperoleh dua persamaan dua variabel yaitu 7x – y = 5 dan

               –x -3y = -7. Kemudian eliminasi kedua persamaan tersebut. Misal kita mengeliminasi
               variabel y, maka diperoleh nilai variabel x.
          
               Berikutnya eliminasi variabel x, sehingga diperoleh nilai variabel y.
          

          4.  Langkah terakhir kita substitusikan x = -1 dan y = 2 ke persamaan yang kalian anggap

               paling mudah, misal persamaan 2, sehingga diperoleh nilai variabel z.
          

  5.      Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.

KEGIATAN BELAJAR 2

MENYELESAIKAN MASALAH KONTEKSTUAL YANG MELIBATKAN SISTEM

PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

A.      TUJUAN

Setelah mempelajari materi pada kegiatan belajar 2, diharapkan kalian mampu

menyelesaikan masalah kontekstual sistem persamaan tiga variabel.

B.    URAIAN MATERI

Pada kegiatan belajar 1, kalian sudah belajar mengenai SPLTV dan bagaimana cara

menyelesaikannya. Nah, pada kegiatan belajar 2 ini kalian akan belajar bagaimana cara

menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLTV.

Contoh permasalahan yang biasa ditemui dalam kehidupan sehari-hari ;

Pulang sekolah Ani, Sella dan Sari pergi ke toko buku bersama-sama. Ani

membeli 3 set pensil, 4 penghapus, dan 1 buku tulis. Sella membeli 6 set pensil, 2

penghapus, dan 1 buku tulis. Sedangkan Sari membeli 2 set pensil, 5 penghapus, dan 10

buku tulis. Di kasir Bedul membayar Rp. 38.000,00, Tukiyem membayar Rp. 38.000,00,

dan Tukiyem membayar Rp. 158.000,00, berapa harga masing-masing benda yang dibeli

mereka?

Jawab :

Sebelum kita menyelesaikan masalah di atas, kita ingat kembali bentuk umum SPLTV,

yaitu: 

Dari permasalahan di atas kita misalkan terlebih dahulu benda-benda yang dibeli oleh

Ani, Sella, dan Sari dengan variabel x, y, dan z :

x = harga 1 set pensil

y = harga 1 buah penghapus

z = harga 1 buku tulis

setelah dimisalkan, kita bisa menyusun sistem persamaannya, menjadi seperti berikut :

Langkah berikutnya, kita akan menyelesaikan SPLTV yang sudah kita susun 

sebelumnya. Pada kasus ini, kita menggunakan metode gabungan eliminasi dan

substitusi.

1.      Eliminasi persamaan (1) dan (2)

     

       2.      Eliminasi persamaan (2) dan (3)

       3.      Eliminasi persamaan (4) dan (5)

      4.      Kemudian setelah mendapat nilai variabel x, kita substitusi x = 9.000 ke persamaan
            yang kalian anggap paling mudah, misal kita substitusikan ke persamaan (4),
            sehingga diperoleh nilai variabel y.
      5.      Langkah terakhir setelah kita menemukan nilai variabel x dan y, kita substitusikan  
            x = 9.000 dan y = 12.000   

Nah, dari langkah demi langkah yang sudah kita kerjakan diperoleh harga 1 set

pensil adalah Rp. 9.000,00, harga 1 penghapus adalah Rp. 12.000,00, dan harga 1

buku tulis adalah Rp. 8.000,00.

 Baiklah, kalian sudah menyelesaikan kegiatan belajar 1 dan kegiatan belajar 2.

Semoga apa yang kalian pelajari pada modul kali ini mengenai materi SPLTV

bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Terima kasih..salam sukses !!!

Untuk mengetahui pemahaman kalian tentang SPLTV silahkan kerjakan soal latihan berikut!!! Nah yang kalian kerjakan kemarin adalah soal SPLDV yang pernah kalian pelajari di SMP, sekarang kerjakan tugas Materi SPLTV untuk menguji kemampuan kalian mengenai materi SPLTV.
Semangat belajar !!! Jadilah insan paripurna yang bermanfaat untuk semua mahluk Nya !!!

BE SMART WITH MATH!!!